Determine quais das funções seguintes são uniformemente contínuas:
(4) f(x)=1x^2+1 em R

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x)=1x^2+1
definida em R é uniformemente contínua. O conteúdo que vamos usar é a definição de continuidade uniforme e o critério de que, se f é derivável em R e f' é limitada, então f é Lipschitz e, portanto, uniformemente contínua.

Passo 2

Lembrando a definição: fcolonRtoR é uniformemente contínua se, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que, para quaisquer x,yinR,
|x-y|<de<aLongrightarrow|f(x)-f(y)|<varepsilon
Um modo rápido de garantir isso é mostrar que existe M>0 com
|f'(x)|<= Mforall xinR,
pois então pelo Teorema de Rolle/Valor Médio
|f(x)-f(y)|<= M,|x-y|,
isto é, f é Lipschitz de constante M.

Passo 3

Como f(x)=1/(x^2+1), calculamos a derivada:
f'(x)=-2x(x^2+1)^2

Passo 4

Para todo xinR vale
(x^2+1)^2=x^4+2x^2+1>= 2|x|,+1>= 2|x|
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|f'(x)|=2|x|(x^2+1)^2<= 1
Portanto podemos tomar M=1 e temos supxinR|f'(x)|<=1.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Valor Médio, para quaisquer x,yinR existe xi entre x e y tal que
|f(x)-f(y)|=|f'(xi)|,|x-y|<= 1cdot|x-y|
Isto mostra que f é Lipschitz de constante 1 e, em particular, é uniformemente contínua em R.

Resposta

A função f(x)=dfrac1x^2+1 é uniformemente contínua em R.

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