Determine quais das funções seguintes são uniformemente contínuas:
(4)
em
(4)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
definida em
é uniformemente contínua. O conteúdo que vamos usar é a definição de continuidade uniforme e o critério de que, se
é derivável em
e
é limitada, então
é Lipschitz e, portanto, uniformemente contínua.
Passo 2
Lembrando a definição:
é uniformemente contínua se, para todo
, existe
tal que, para quaisquer
,
Um modo rápido de garantir isso é mostrar que existe
com
pois então pelo Teorema de Rolle/Valor Médio
isto é,
é Lipschitz de constante
.
Passo 3
Como
, calculamos a derivada:
Passo 4
Para todo
vale
Logo
Portanto podemos tomar
e temos
.
Passo 5
Aplicando o Teorema do Valor Médio, para quaisquer
existe
entre
e
tal que
Isto mostra que
é Lipschitz de constante
e, em particular, é uniformemente contínua em
.
Resposta
A função
é uniformemente contínua em
.