Exercício 7. Mostre a boa definição da operação subtração em Z.

Passo 1

Vamos lembrar como construímos Z a partir de N. Definimos
Z = l[(a,b)] mid a,binNr,
onde
(a,b) sim (a',b') Long<=ftrightarrow a + b' = a' + b
Para dois inteiros x=[(a,b)] e y=[(c,d)], definimos a subtração por
x - y = [(a,b)] - [(c,d)] := [(,a + d,; b + c,)]
O que precisamos mostrar é que, se escolhermos outros representantes (a',b')sim(a,b) e (c',d')sim(c,d), o resultado
[(a+d,;b+c)] pertence à mesma classe que [(a'+d',;b'+c')].

Passo 2

Suponha
(a,b)sim(a',b')Longrightarrow a + b' = a' + b,
e
(c,d)sim(c',d')Longrightarrow c + d' = c' + d
Queremos ver que
(a + d,; b + c)sim (a' + d',; b' + c'),
ou seja, que
(a + d) + (b' + c') ;=;(a' + d') + (b + c)
Começamos com o lado esquerdo e usamos as relações dadas:
(a + d) + (b' + c') = a + b' + c' + d = (a' + b) + (c' + d) (pois a+b'=a'+b)
= a' + b + c' + d = b + c + a' + d' (pois c+d'=c'+d)
= (a' + d') + (b + c)
Como as somas coincidem, de fato
(a + d,; b + c)sim (a' + d',; b' + c'),
mostrando que a classe de [(a+d,;b+c)] não depende da escolha de representantes.

Resposta

A subtração em Z dada por
[(a,b)] - [(c,d)] := [(,a + d,;b + c,)]
é bem definida, pois qualquer troca de representantes não altera a classe resultante.

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