Exercício 7. Mostre a boa definição da operação subtração em
.
Passo 1
Vamos lembrar como construímos
a partir de
. Definimos
onde
Para dois inteiros
e
, definimos a subtração por
O que precisamos mostrar é que, se escolhermos outros representantes
e
, o resultado
pertence à mesma classe que
.
Passo 2
Suponha
e
Queremos ver que
ou seja, que
Começamos com o lado esquerdo e usamos as relações dadas:
Como as somas coincidem, de fato
,
mostrando que a classe de não depende da escolha de representantes.
mostrando que a classe de
Resposta
A subtração em
dada por
é bem definida, pois qualquer troca de representantes não altera a classe resultante.