Exercício 4 (2,5 pontos) Calcular a matriz inversa da matriz:
A=(rrr -1 & 3 & -1 3 & 2 & -2 3 & 3 & -2 )

Passo 1

O enunciado pede a matriz inversa de
A= -1 & 3 & -1 3 & 2 & -2 3 & 3 & -2
Vamos usar o método de Gauss–Jordan: montamos a matriz aumentada [Amid I] e aplicamos operações elementares até obter [Imid A^-1].

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e pivotamos a primeira linha para obter pivô 1 na posição (1,1):
[Amid I]= (ccc|ccc -1 & 3 & -1 & 1 & 0 & 0 3 & 2 & -2 & 0 & 1 & 0 3 & 3 & -2 & 0 & 0 & 1 )
Multiplicamos R1 por -1:
(ccc|ccc 1 & -3 & 1 & -1 & 0 & 0 3 & 2 & -2 & 0 & 1 & 0 3 & 3 & -2 & 0 & 0 & 1 )

Passo 3

Zeramos abaixo do pivô da coluna 1 usando
R2 R2 - 3,R1 e
R3 R3 - 3,R1:
(ccc|ccc 1 & -3 & 1 & -1 & 0 & 0 0 & 11 & -5 & 3 & 1 & 0 0 & 12 & -5 & 3 & 0 & 1 )

Passo 4

O segundo pivô é 11 em (2,2). Normalizamos
R2 tfrac111,R2:
(ccc|ccc 1 & -3 & 1 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & -tfrac511 & tfrac311 & tfrac111 & 0 0 & 12 & -5 & 3 & 0 & 1 )
Em seguida zeramos a coluna 2 em R₁ e R₃:
R1 R1 +3,R2,
R3 R3 -12,R2, obtendo
(ccc|ccc 1 & 0 & -tfrac411 & -tfrac211 & tfrac311 & 0 0 & 1 & -tfrac511 & tfrac311 & tfrac111 & 0 0 & 0 & tfrac511 & -tfrac311 & -tfrac1211 & 1 )

Passo 5

O terceiro pivô é tfrac511 em (3,3). Normalizamos
R3 tfrac115,R3:
(ccc|ccc 1 & 0 & -tfrac411 & -tfrac211 & tfrac311 & 0 0 & 1 & -tfrac511 & tfrac311 & tfrac111 & 0 0 & 0 & 1 & -tfrac35 & -tfrac125 & tfrac115 )

Passo 6

Finalmente zeramos a coluna 3 em R₁ e R₂:
R1 R1 + tfrac411,R3,
R2 R2 + tfrac511,R3. O resultado é
(ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -tfrac25 & -tfrac35 & tfrac45 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 0 & 0 & 1 & -tfrac35 & -tfrac125 & tfrac115 ),
de onde lemos A^-1.

Resposta

A^-1 = -tfrac25 & -tfrac35 & tfrac45 0 & -1 & 1 -tfrac35 & -tfrac125 & tfrac115

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