Determine quais das funções seguintes são uniformemente contínuas:
(5) em .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é uniformemente contínua no intervalo .
Lembrando a definição: é uniformemente contínua em se, para todo , existe tal que, para quaisquer ,
Passo 2
Para mostrar que não é uniformemente contínua, basta encontrar um tal que, para todo , existem com mas .
Escolhemos
Se tomarmos , então
Passo 3
Note que, para de<a>0, temos e^de<a-1>0. Como
limxtoinfty e^xl(e^de<a-1r) = +infty,
existe sempre um x>=0 tal que
e^xl(e^de<a-1r)>= 1
Para esse x vale |x-(x+de<a)|=de<a<de<a e
|f(x+de<a)-f(x)| = e^xl(e^de<a-1r)>= 1 = epsilon
Isso mostra que, qualquer que seja de<a>0, encontramos x,yin[0,infty) com |x-y|<de<a mas |f(x)-f(y)|>=1. Portanto a definição de continuidade uniforme falha.
Resposta
A função f(x)=e^xnão é uniformemente contínua em [0,infty).