Determine quais das funções seguintes são uniformemente contínuas:
(5) f(x)=e^x em [0, infty).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x)=e^x
é uniformemente contínua no intervalo [0,infty).
Lembrando a definição: f é uniformemente contínua em [0,infty) se, para todo epsilon>0, existe de<a>0 tal que, para quaisquer x,yin[0,infty),
|x-y|<de<a Longrightarrow |f(x)-f(y)|<epsilon

Passo 2

Para mostrar que f não é uniformemente contínua, basta encontrar um epsilon>0 tal que, para todo de<a>0, existem x,y com |x-y|<de<a mas |f(x)-f(y)|>=epsilon.
Escolhemos
epsilon = 1
Se tomarmos y = x + de<a, então
|f(y)-f(x)| = l|e^x+de<a-e^xr| = e^xl(e^de<a - 1r)

Passo 3

Note que, para de<a>0, temos e^de<a-1>0. Como
limxtoinfty e^xl(e^de<a-1r) = +infty,
existe sempre um x>=0 tal que
e^xl(e^de<a-1r)>= 1
Para esse x vale |x-(x+de<a)|=de<a<de<a e
|f(x+de<a)-f(x)| = e^xl(e^de<a-1r)>= 1 = epsilon
Isso mostra que, qualquer que seja de<a>0, encontramos x,yin[0,infty) com |x-y|<de<a mas |f(x)-f(y)|>=1. Portanto a definição de continuidade uniforme falha.

Resposta

A função f(x)=e^x não é uniformemente contínua em [0,infty).

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