Exercício 5. Sejam
. Mostre que:
se, e somente se,
.
Passo 1
Beleza, o exercício quer mostrar que, em
, adicionar o mesmo
numa desigualdade não muda nada. Mais precisamente:
-
se, e somente se, . -
se, e somente se, .
Conteúdo: ordem em naturais e propriedades da adição. Vamos usar:
- Definição de
: . - Definição de
: . - Propriedades da adição em
: - associatividade:
; - comutatividade:
; - cancelamento: se
, então .
- associatividade:
Passo 2
Prova da direção “
”:
- Se
, existe tal que
- Somando
em ambos os lados e reagrupando (associatividade/comutatividade):
- Logo
.
Para
, como
significa
e
, basta somar
:
- Já vimos
. - Se
, pelo cancelamento .
Logo.
Passo 3
Prova da direção “
” para
:
- Se
, existe tal que
- Pela mesma reescrita de parênteses e ordem:
- Aplica cancelamento em
:
Assim
.
Passo 4
Prova da direção “
” para
:
Se
, então
e
.
- Do passo 3 vem
. - De
, pelo contrapositivo do cancelamento, decorre .
Logo.
Resposta
Portanto, para todo
, vale
$