Exercício 5. Sejam m, n, p in N. Mostre que:
m <=(<) n se, e somente se, m+p <=(<) n+p.

Passo 1

Beleza, o exercício quer mostrar que, em N, adicionar o mesmo p numa desigualdade não muda nada. Mais precisamente:
  • m<= n se, e somente se, m+p<= n+p.
  • m< n se, e somente se, m+p< n+p.
Conteúdo: ordem em naturais e propriedades da adição. Vamos usar:
  1. Definição de <=: m<= niffexists,kinN:;m+k=n.
  2. Definição de <: m<niff m<= n;wed>=;mneq n.
  3. Propriedades da adição em N:
    • associatividade: (a+b)+c=a+(b+c);
    • comutatividade: a+b=b+a;
    • cancelamento: se a+z=b+z, então a=b.

Passo 2

Prova da direção “ Rightarrow”:
  1. Se m<= n, existe k tal que
m+k=n
  1. Somando p em ambos os lados e reagrupando (associatividade/comutatividade):
(m+p)+k = m+(p+k)=m+(k+p)=(m+k)+p = n+p
  1. Logo m+p<= n+p.
Para <, como m<n significa m<= n e mneq n, basta somar p:
  • Já vimos m+p<= n+p.
  • Se mneq n, pelo cancelamento m+pneq n+p.
    Logo m+p<n+p.

Passo 3

Prova da direção “ Leftarrow” para <=:
  1. Se m+p<= n+p, existe k tal que
(m+p)+k = n+p
  1. Pela mesma reescrita de parênteses e ordem:
(m+k)+p = n+p
  1. Aplica cancelamento em +p:
m+k=n
Assim m<= n.

Passo 4

Prova da direção “ Leftarrow” para <:
Se m+p<n+p, então m+p<= n+p e m+pneq n+p.
  • Do passo 3 vem m<= n.
  • De m+pneq n+p, pelo contrapositivo do cancelamento, decorre mneq n.
    Logo m<n.

Resposta

Portanto, para todo m,n,pinN, vale
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