• Problema 5.25. Suponha que f: I R é uniformemente contínua. Prove que se (xn) é sequência de Cauchy, então (f(xn)) também é.

Passo 1

O enunciado fala de uma função fcolon ItoR que é uniformemente contínua e de uma sequência l(xnr)subset I que é de Cauchy. O objetivo é mostrar que a sequência l(f(xn)r) também é de Cauchy. Vamos usar os conceitos de continuidade uniforme e de sequência de Cauchy para construir a prova.

Passo 2

Recordando a definição de continuidade uniforme:
Para toda epsilon>0 existe de<a>0 tal que, para quaisquer x,yin I,
|x - y| < de<a Longrightarrow l|f(x) - f(y)r| < epsilon
Recordando a definição de sequência de Cauchy:
A sequência l(xnr) é de Cauchy se, para todo de<a>0, existe NinN tal que, para todos m,n > N,
|xn - xm| < de<a

Passo 3

Agora faça a prova. Seja epsilon>0.
Pela continuidade uniforme de f, existe de<a>0 tal que
|x - y| < de<a Longrightarrow l|f(x) - f(y)r| < epsilon
Como l(xnr) é de Cauchy, aplicado esse mesmo de<a, existe N tal que, para todos m,n > N,
|xn - xm| < de<a
Então, sempre que n,m > N temos
l|f(xn) - f(xm)r| < epsilon

Passo 4

Isso mostra exatamente que, para todo epsilon>0, existe N tal que n,m > N implica l|f(xn)-f(xm)r|<epsilon. Logo l(f(xn)r) é sequência de Cauchy.

Resposta

A sequência l(f(xn)r) é de Cauchy.

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