Problema 5.25. Suponha que é uniformemente contínua. Prove que se é sequência de Cauchy, então também é.
Passo 1
O enunciado fala de uma função que é uniformemente contínua e de uma sequência que é de Cauchy. O objetivo é mostrar que a sequência também é de Cauchy. Vamos usar os conceitos de continuidade uniforme e de sequência de Cauchy para construir a prova.
Passo 2
Recordando a definição de continuidade uniforme:
Para toda existe tal que, para quaisquer ,
Recordando a definição de sequência de Cauchy:
A sequência l(xnr) é de Cauchy se, para todo de<a>0, existe NinN tal que, para todos m,n > N,
|xn - xm| < de<a
Passo 3
Agora faça a prova. Seja epsilon>0.
Pela continuidade uniforme de f, existe de<a>0 tal que