Determine se as funções a seguir são invertíveis e em caso afirmativo determine sua inversa:
g(x)=raiz4 x^2-9 ; x >= 32

Passo 1

O enunciado dá a função
gcolon l[tfrac32,inftyr)longrightarrow [0,infty), g(x)=raiz4x^2-9
e pede para verificar se ela é invertível e, em caso afirmativo, determinar g^-1.
O que vamos usar:
– Critério de injetividade/monotonicidade via derivada.
– Resolução de y=raiz4x^2-9 para isolar x.

Passo 2

Verificamos a monotonicidade de g no domínio x>=32. Calculamos a derivada:
g'(x) =ddxraiz4x^2-9 =12raiz4x^2-9cdot 8x =4xraiz4x^2-9
Para x>=32>0 temos g'(x)>0. Logo g é estritamente crescente e, portanto, injetora.

Passo 3

Para achar a inversa, escrevemos
y=raiz4x^2-9 Longrightarrow y^2 = 4x^2 - 9 Longrightarrow 4x^2 = y^2 + 9 Longrightarrow x^2 = y^2+94
Tomamos a raiz positiva porque no domínio de g temos x>=32>0:
x = raizy^2+94 =12,raizy^2+9

Passo 4

Portanto, g é invertível e a sua inversa é
g^-1colon [0,infty)longrightarrow l[tfrac32,inftyr), g^-1(y)=12,raizy^2+9

Resposta

g é invertível em l[tfrac32,inftyr) e
g^-1(x)=12raizx^2+9, x>=0

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