Resolva as EDOs abaixo:
(x^2-y^2) dx-2 x y dy=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é (x^2-y^2) dx - 2xy dy = 0. Isso está dentro do conteúdo de cálculo, mais especificamente em equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que a satisfaça.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação da forma M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 é exata se partial Mpartial y = partial Npartial x. Aqui, M = x^2 - y^2 e N = -2xy.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = -2y
partial Npartial x = -2y
Como partial Mpartial y = partial Npartial x, a equação é exata.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma função F(x, y) tal que:
partial Fpartial x = M = x^2 - y^2
Integrando M em relação a x:
F(x, y) = integral (x^2 - y^2) dx = x^33 - y^2x + g(y)
onde g(y) é uma função que depende apenas de y.

Passo 5

Para determinar g(y), usamos a condição:
partial Fpartial y = N = -2xy
Derivando F(x, y) em relação a y:
partial Fpartial y = -2yx + g'(y) = -2xy
Isso implica que g'(y) = 0, então g(y) é uma constante, que podemos chamar de C.

Passo 6

Assim, a função F(x, y) é:
F(x, y) = x^33 - y^2x + C
Como F(x, y) = C, temos a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da EDO é x^33 - x y^2 = C, onde C é uma constante.

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