Resolva as EDOs abaixo:
(1+y sen x) dx+(1-cos x) dy=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
(1 + y sin x),dx + (1 - cos x),dy = 0
e pede a sua solução geral. Esse é um caso clássico de equação exata, em que devemos verificar se existe uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x = 1 + y sin x e partial phipartial y = 1 - cos x

Passo 2

Definimos
M(x,y) = 1 + y sin x, N(x,y) = 1 - cos x
Para checar exatidão, calculamos
partial Mpartial y = sin x, partial Npartial x = sin x
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Já que é exata, existe phi(x,y) com
partial phipartial x = M(x,y) = 1 + y sin x
Integramos em x, tratando y como constante:
phi(x,y) = integral l(1 + y sin xr),dx = x - y cos x + g(y),
onde g(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Agora usamos a outra condição
partial phipartial y = -cos x + g'(y) stackrel!= N(x,y) = 1 - cos x
Logo
-cos x + g'(y) = 1 - cos x ;Longrightarrow; g'(y) = 1 ;Longrightarrow; g(y) = y + const
Podemos absorver a constante em C.

Passo 5

A função potencial fica
phi(x,y) = x - y cos x + y = x + y,(1 - cos x)
A solução geral implícita é
phi(x,y) = C Longrightarrow x + y,(1 - cos x) = C

Resposta

x + y,(1 - cos x) = C

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