Resolva as EDOs abaixo:
y dy=x^3 dx

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: $ y , dy = x^{3} , dx $. A matéria aqui envolvida é cálculo diferencial, especificamente a integração de equações diferenciais separáveis. Vamos precisar lembrar como separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa equação. Temos $ y , dy $ de um lado e $ x^{3} , dx $ do outro. Isso sugere que podemos integrar ambos os lados para encontrar uma relação entre $ y $ e $ x $.

Passo 3

Vamos integrar o lado esquerdo: $ \int y , dy $. A regra para integrar $ y , dy $ é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente. Então:
integral y , dy

Passo 4

Agora, vamos integrar o lado direito: $ \int x^{3} , dx $. Usamos a mesma regra, aumentando o expoente e dividindo pelo novo valor:
integral x^3 , dx

Passo 5

Depois de integrar ambos os lados, igualamos as duas expressões (já que elas são iguais na equação original):
y^22 + C1 = x^44 + C2
Podemos simplificar isso combinando as constantes $ C_{1} $ e $ C_{2} $ em uma única constante $ C $:
C1

Passo 6

Para achar $ y $ em função de $ x $, multiplicamos ambos os lados por 2:
y
E então, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
x
Onde $ C $ é uma constante de integração que pode ser determinada com condições iniciais, se forem dadas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = raizx^42 + C
Onde $ C $ é uma constante de integração.

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