Resolva as EDOs abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: $ y , dy = x^{3} , dx $. A matéria aqui envolvida é cálculo diferencial, especificamente a integração de equações diferenciais separáveis. Vamos precisar lembrar como separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa equação. Temos $ y , dy $ de um lado e $ x^{3} , dx $ do outro. Isso sugere que podemos integrar ambos os lados para encontrar uma relação entre $ y $ e $ x $.
Passo 3
Vamos integrar o lado esquerdo: $ \int y , dy $. A regra para integrar $ y , dy $ é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente. Então:
Passo 4
Agora, vamos integrar o lado direito: $ \int x^{3} , dx $. Usamos a mesma regra, aumentando o expoente e dividindo pelo novo valor:
Passo 5
Depois de integrar ambos os lados, igualamos as duas expressões (já que elas são iguais na equação original):
Podemos simplificar isso combinando as constantes $ C_{1} $ e $ C_{2} $ em uma única constante $ C $:
Passo 6
Para achar $ y $ em função de $ x $, multiplicamos ambos os lados por 2:
E então, tiramos a raiz quadrada dos dois lados:
Onde $ C $ é uma constante de integração que pode ser determinada com condições iniciais, se forem dadas.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante de integração.