Determine se as funções a seguir são invertíveis e em caso afirmativo determine sua inversa:
F(x)=ln (1-x1+x)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
F(x)=ln!gl(1-x1+xgr)
é invertível e, em caso afirmativo, encontrar sua inversa.
Conteúdo: domínio, monotonicidade (para garantir inversibilidade) e resolução algébrica para achar F^-1.

Passo 2

Determinar o domínio de F. Como temos lnl((1-x)/(1+x)r), precisamos de
1-x1+x>0
Isso ocorre exatamente quando numerador e denominador têm mesmo sinal.
  1. 1-x>0 e 1+x>0 Rightarrow -1<x<1.
  2. 1-x<0 e 1+x<0 Rightarrow x>1 e x<-1, impossível simultaneamente.
    Logo o domínio de F é
D = (-1,1)

Passo 3

Verificar monotonicidade em (-1,1). Calculamos a derivada:
F'(x) =ddxln!gl(1-x1+xgr) =-11-x-11+x =-21-x^2
Como 1-x^2>0 em (-1,1), temos F'(x)<0 em todo o domínio. Portanto F é estritamente decrescente e, consequentemente, invertível em (-1,1).

Passo 4

Encontrar F^-1. Seja y=F(x). Então
y = ln!gl(1-x1+xgr) Longrightarrow e^y = 1-x1+x
Multiplicando:
e^y(1+x)=1-x Longrightarrow e^y + e^y x = 1 - x Longrightarrow xl(e^y +1r)=1-e^y
Longrightarrow x = 1-e^y1+e^y
Portanto a inversa é
F^-1(y)=1-e^y1+e^y,
com yinR variando em toda reta, e F^-1(y)in(-1,1).

Resposta

A função F é invertível em (-1,1) e
F^-1(y)=1-e^y1+e^y

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