Determine se as funções a seguir são invertíveis e em caso afirmativo determine sua inversa:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é invertível e, em caso afirmativo, encontrar sua inversa.
Conteúdo: domínio, monotonicidade (para garantir inversibilidade) e resolução algébrica para achar .
Conteúdo: domínio, monotonicidade (para garantir inversibilidade) e resolução algébrica para achar
Passo 2
Determinar o domínio de
. Como temos
, precisamos de
Isso ocorre exatamente quando numerador e denominador têm mesmo sinal.
-
e . -
e e , impossível simultaneamente.
Logo o domínio deé
Passo 3
Verificar monotonicidade em
. Calculamos a derivada:
Como
em
, temos
em todo o domínio. Portanto
é estritamente decrescente e, consequentemente, invertível em
.
Passo 4
Encontrar
. Seja
. Então
Multiplicando:
Portanto a inversa é
com
variando em toda reta, e
.
Resposta
A função
é invertível em
e