Resolva as EDOs abaixo:
y^prime(x)=y^5 sen x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é y'(x) = y^5 sin x . A matéria aqui é Equações Diferenciais, especificamente equações separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis y e x e depois integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que essa EDO é separável, ou seja, podemos escrever todos os termos com y de um lado e os termos com x do outro. Vamos rearranjar a equação:
dydx = y^5 sin x
Podemos reescrever isso como:
dyy^5 = sin x , dx

Passo 3

Agora que temos as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo com relação a y e a integral do lado direito com relação a x :
integral 1y^5 , dy = integral sin x , dx

Passo 4

Vamos calcular as integrais. Para o lado esquerdo:
integral y^-5 , dy = y^-4-4 + C1 = -14y^4 + C1
E para o lado direito:
integral sin x , dx = -cos x + C2

Passo 5

Igualando as duas integrais e juntando as constantes C1 e C2 em uma constante geral C :
-14y^4 = -cos x + C
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para simplificar:
14y^4 = cos x - C

Passo 6

Vamos resolver para y . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 4:
1y^4 = 4(cos x - C)
Depois, tiramos o inverso de ambos os lados:
y^4 = 14(cos x - C)
Finalmente, tiramos a raiz quarta de ambos os lados:
y(x) = ( 14(cos x - C) )^14

Resposta

A solução geral da EDO y'(x) = y^5 sin x é:
y(x) = ( 14(cos x + C) )^14
Onde C é a constante de integração.

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