Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
y^prime prime+6 y^prime+5 y=0, y(0)=-1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
y'' + 6y' + 5y = 0,
sujeita às condições iniciais y(0)=-1 e y'(0)=0. Vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica associada à equação diferencial:
r^2 + 6r + 5 = 0
Resolvendo, obtemos as raízes r1 = -1 e r2 = -5.

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
y(x) = C1 e^-x + C2 e^-5x
Derivando, temos
y'(x) = -C1 e^-x ;-;5C2 e^-5x

Passo 4

Aplicando x=0 nas condições iniciais:
  • De y(0)=-1 segue C1 + C2 = -1
  • De y'(0)=0 segue -C1 - 5 C2 = 0, ou seja, C1 = -5 C2
    Substituindo em C1 + C2 = -1 -5 C2 + C2 = -1, logo C2 = tfrac14 e C1 = -tfrac54.

Resposta

y(x) = -54e^-x + 14e^-5x

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