Determine se as funções a seguir são invertíveis e em caso afirmativo determine sua inversa:
Passo 1
Resumindo o enunciado: a função dada é
. O conteúdo é teste de invertibilidade (injeção e bijeção) e, se invertível, encontrar
. Precisamos usar o teste da reta horizontal para checar injetividade e resolver a equação
para
.
Passo 2
Determinar domínio e imagem de
. A condição
leva a
, logo
. Como raiz quadrada retorna valores em
, a imagem é
.
Passo 3
Checar injetividade no domínio natural: como
, a função não é um a um em
, portanto não é invertível em todo o domínio.
Passo 4
Para obter invertibilidade, restringimos o domínio a subintervalos onde
é monotônica. Em
temos
, logo
é decrescente e injetiva. Em
é crescente e injetiva.
Passo 5
Encontrar a inversa resolvendo
. Elevando ao quadrado:
implica
e
. O sinal depende da restrição do domínio.
Resposta
A função não é invertível em seu domínio natural
. Restringindo o domínio a
, ela se torna invertível com
Restringindo a
, a inversa é