Determine se as funções a seguir são invertíveis e em caso afirmativo determine sua inversa:
H(x)=raiz9-x^2

Passo 1

Resumindo o enunciado: a função dada é H(x)=raiz9-x^2. O conteúdo é teste de invertibilidade (injeção e bijeção) e, se invertível, encontrar H^-1. Precisamos usar o teste da reta horizontal para checar injetividade e resolver a equação y=raiz9-x^2 para x.

Passo 2

Determinar domínio e imagem de H. A condição 9-x^2>=0 leva a -3<= x<=3, logo Dom,H=[-3,3]. Como raiz quadrada retorna valores em [0,3], a imagem é Im,H=[0,3].

Passo 3

Checar injetividade no domínio natural: como H(-x)=H(x), a função não é um a um em [-3,3], portanto não é invertível em todo o domínio.

Passo 4

Para obter invertibilidade, restringimos o domínio a subintervalos onde H é monotônica. Em [0,3] temos H'(x)=-x/raiz9-x^2<=0, logo H é decrescente e injetiva. Em [-3,0] é crescente e injetiva.

Passo 5

Encontrar a inversa resolvendo y=raiz9-x^2. Elevando ao quadrado: y^2=9-x^2 implica x^2=9-y^2 e x=pmraiz9-y^2. O sinal depende da restrição do domínio.

Resposta

A função não é invertível em seu domínio natural [-3,3]. Restringindo o domínio a [0,3], ela se torna invertível com
H^-1(y)=raiz9-y^2, yin[0,3]
Restringindo a [-3,0], a inversa é
H^-1(y)=-raiz9-y^2, yin[0,3]

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