(1. Resolva o problema de valor inicial:
\left\{\begin{array}{c} \frac{2}{5}\left[y^{\prime \prime}-\frac{3}{2} y^{\prime}-y\right]=e^{2 t}+\operatorname{sen} t \\\ y(0)=3, \quad y^{\prime}(0)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} \frac{2}{5}\bigl[y''-\tfrac32\,y'-y\bigr]=e^{2t}+\sin t,\\\ y(0)=3,\quad y'(0)=0. \end{cases}
Trata-se de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por \tfrac{5}{2} para obter a forma padrão
y''-\tfrac32\,y'-y=\tfrac{5}{2}e^{2t}+\tfrac{5}{2}\sin t.

Passo 2

Resolvemos a equação homogênea
y''-\tfrac32\,y'-y=0.
A equação característica é
r^2-\tfrac32\,r-1=0 \quad\Longrightarrow\quad r=\frac{\tfrac32\pm\sqrt{\tfrac94+4}}{2} =\frac{\tfrac32\pm\tfrac52}{2}
ou seja r_1=2 e r_2=-\tfrac12. Logo a solução geral homogênea é
y_h=C_1e^{2t}+C_2e^{-t/2}.

Passo 3

Procuramos uma solução particular para o termo \tfrac{5}{2}e^{2t}. Como e^{2t} já está na solução homogênea, usamos
y_{p1}=A\,t\,e^{2t}.
Calculando y_{p1}',y_{p1}'' e substituindo em y''-\tfrac32y'-y obtém-se
\bigl(y''-\tfrac32y'-y\bigr)_{p1}=\tfrac{5}{2}\,A\,e^{2t}
e igualando a \tfrac{5}{2}e^{2t} surge A=1. Portanto
y_{p1}=t\,e^{2t}.

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular para \tfrac{5}{2}\sin t\). Tentamos \[y_{p2}=B\cos t + C\sin t.
Calculando y_{p2}',y_{p2}'' e substituindo em y''-\tfrac32y'-y gera o sistema
\begin{cases} -2B-\tfrac32C=0,\\\ \tfrac32B-2C=\tfrac{5}{2}, \end{cases}
cuja solução é B=\tfrac{3}{5}\], \(C=-\tfrac{4}{5}. Assim
y_{p2}=\tfrac{3}{5}\cos t - \tfrac{4}{5}\sin t.

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é
y=C_1e^{2t}+C_2e^{-t/2}+t\,e^{2t}+\tfrac{3}{5}\cos t-\tfrac{4}{5}\sin t.
Impondo y(0)=3\) e \(y'(0)=0\) obtém-se o sistema \[\begin{cases} C_1+C_2+\tfrac{3}{5}=3,\\\\ 2C_1-\tfrac12C_2+1-\tfrac{4}{5}=0, \end{cases}
cuja solução é C_1=\tfrac{2}{5}\], \(C_2=2.

Resposta

\boxed{y(t) =\tfrac{2}{5}e^{2t}+2e^{-t/2}+t\,e^{2t}+\tfrac{3}{5}\cos t-\tfrac{4}{5}\sin t.}

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