(a) Determine qual ou quais das funções z1(x)=x+2, z2(x)=x^2, z3(x)=x^3 e z4(x)=e^-x são soluções da equação
(x+3) y^prime prime+(x+2) y^prime-y=0
(b) Determine a solução geral da equação (x+3) y^prime prime+(x+2) y^prime-y=0 e obtenha a solução do problema de valor inicial
c (x+3) y^prime prime+(x+2) y^prime-y=0 y(1)=1 y^prime(1)=3

Passo 1

Beleza, o enunciado tem duas partes:
(a) Testar quais das funções
z1(x)=x+2, z2(x)=x^2, z3(x)=x^3, z4(x)=e^-x
são soluções da equação
(x+3)y''+(x+2)y'-y=0
Aqui é uma EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes variáveis. Pra cada zi a gente vai calcular y',y'' e substituir na equação pra ver se dá zero.
(b) Encontrar a solução geral da mesma EDO e, usando as condições iniciais
y(1)=1, y'(1)=3,
achar a solução particular do problema de valor inicial.
Pra isso você só precisa saber derivar, substituir em EDOs e lembrar que, numa EDO linear homogênea de 2ª ordem, a solução geral é
y(x)=C1y1(x)+C2y2(x)
desde que y1,y2 sejam soluções independentes (ou seja, o Wronskiano não zera).

Passo 2

Testando z1(x)=x+2:
  • y=x+2implies y'=1,;y''=0.
  • Substituindo em (x+3)y''+(x+2)y'-y
(x+3)cdot0;+;(x+2)cdot1;-;(x+2) =(x+2)-(x+2)=0
Então z1 é solução.

Passo 3

Testando z2(x)=x^2:
  • y=x^2implies y'=2x,;y''=2.
  • Substituição:
(x+3)cdot2;+;(x+2)cdot2x;-;x^2 =2x+6+2x^2+4x-x^2 =x^2+6x+6neq0
logo z2 não é solução.

Passo 4

Testando z3(x)=x^3:
  • y=x^3implies y'=3x^2,;y''=6x.
  • Substituição:
(x+3),6x+(x+2),3x^2-x^3 =6x^2+18x+3x^3+6x^2-x^3 =2x^3+12x^2+18xneq0
logo z3 não é solução.

Passo 5

Testando z4(x)=e^-x:
  • y=e^-ximplies y'=-e^-x,;y''=e^-x.
  • Substituição:
(x+3)e^-x+(x+2)(-e^-x)-e^-x =e^-xl[(x+3)-(x+2)-1r]=0
Portanto z4 é solução.

Passo 6

Da parte (a) sobram as soluções independentes
y1(x)=x+2, y2(x)=e^-x
Teoria diz: para EDO linear homogênea de 2ª ordem, a solução geral é
y(x)=C1y1(x)+C2y2(x) =C1(x+2)+C2e^-x,
desde que o Wronskiano
W(y1,y2) =x+2 & e^-x[6pt]1 & -e^-x =-(x+2)e^-x-1cdot e^-x =-e^-x(x+3)neq0
para xneq-3. Então elas são independentes e a fórmula vale.]

Passo 7

Agora o problema de valor inicial:
Impondo [y(1)=1) e dá o sistema
Somando as duas equações:
Logo a solução do PVI é

Resposta

(a) Das quatro funções, somente
z1(x)=x+2 e z4(x)=e^-x
são soluções da EDO.
(b) A solução geral é
y(x)=C1(x+2)+C2e^-x,
e a solução do problema de valor inicial é
y(x)=x+2-2e^,1-x

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