Resolva os PVIs:
y^prime prime+2 y^prime+y=3 sen(2 t), y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y'' + 2y' + y = 3sin(2t), y(0)=0, y'(0)=0
Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método padrão: primeiro achamos a solução geral da equação homogênea, depois uma solução particular, e por fim ajustamos as constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea
y'' + 2y' + y = 0,
usamos a equação característica
r^2 + 2r + 1 = 0 ;Longrightarrow;(r+1)^2 = 0;Longrightarrow;r=-1 (dupla)
Logo a solução geral homogênea é
yh(t) = C1 e^-t + C2,t,e^-t

Passo 3

Propondo uma solução particular do tipo
yp(t) = Acos(2t) + Bsin(2t),
calculamos
yp' = -2Asin(2t) + 2Bcos(2t), yp'' = -4Acos(2t) -4Bsin(2t)
Substituindo em y''+2y'+y=3sin(2t) obtemos
(-4Acos2t-4Bsin2t) +2(-2Asin2t+2Bcos2t) +(Acos2t+Bsin2t) =3sin2t
Agrupando termos de cos2t e sin2t:
(-4A+4B+A)cos2t+(-4B-4A+B)sin2t=0cdotcos2t+3sin2t
Isso gera o sistema
-3A+4B=0, -4A-3B=3
Da primeira equação B=tfrac34A. Substituindo na segunda:
-4A -3l(tfrac34Ar)=3 ;Longrightarrow;-4A-tfrac94A=3 ;Longrightarrow;-,tfrac254A=3 ;Longrightarrow;A=-tfrac1225,
e então
B=tfrac34,(-tfrac1225)=-tfrac925
Portanto
yp(t)=-tfrac1225cos(2t);-;tfrac925sin(2t)

Passo 4

A solução geral do PVI é
y(t)=yh(t)+yp(t) = C1 e^-t + C2,t,e^-t -tfrac1225cos(2t) -tfrac925sin(2t)

Passo 5

Aplicando y(0)=0:
y(0)=C1 + 0 -tfrac1225cdot1 -0=0 ;Longrightarrow;C1=tfrac1225
Agora calculamos y'(t). Derivando:
y'(t)=-C1e^-t + C2e^-t(1-t) +tfrac2425sin(2t) -tfrac1825cos(2t)
Em t=0 (usando e^0=1, sin0=0, cos0=1) a condição y'(0)=0
-,C1 + C2 -tfrac1825=0 ;Longrightarrow;C2 = C1 + tfrac1825 = tfrac1225 + tfrac1825 = tfrac3025 = tfrac65

Resposta

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