Resolva os PVIs:
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método padrão: primeiro achamos a solução geral da equação homogênea, depois uma solução particular, e por fim ajustamos as constantes usando as condições iniciais.
Passo 2
Resolvendo a parte homogênea
usamos a equação característica
Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Propondo uma solução particular do tipo
calculamos
Substituindo em
obtemos
Agrupando termos de
e
:
Isso gera o sistema
Da primeira equação
. Substituindo na segunda:
e então
Portanto
Passo 4
A solução geral do PVI é
Passo 5
Aplicando
:
Agora calculamos
. Derivando:
Em
(usando
,
,
) a condição
dá