Determine o valor de a para que a função dada seja contínua em (0,0) :
f(x, y)=lll(x^2+y^2) sen 1x^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) a & se & (x, y)=(0,0)

Passo 1

Resumindo o enunciado: a função
f(x,y)= (x^2+y^2)senl(tfrac1x^2+y^2r),& (x,y)neq(0,0), a,& (x,y)=(0,0)
deve ser contínua em (0,0). Para isso, precisamos calcular
lim(x,y)to(0,0)(x^2+y^2)senl(tfrac1x^2+y^2r)
e igualar esse limite a a.

Passo 2

Para simplificar o limite, adotamos coordenadas polares:
x = rcostheta, y = rsintheta, r = raizx^2+y^2
Então, quando (x,y)to(0,0), temos rto0 e
f(x,y)=(x^2+y^2)senl(tfrac1x^2+y^2r) = r^2senl(tfrac1r^2r)

Passo 3

Aplicamos o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem). Como
-1<= senl(tfrac1r^2r)<= 1,
multiplicando por r^2>=0 obtemos
-r^2<= r^2senl(tfrac1r^2r)<= r^2
E como
limrto0(-r^2) = 0 e limrto0r^2 = 0,
segue-se que
limrto0r^2senl(tfrac1r^2r) = 0

Passo 4

Para a função ser contínua em (0,0), devemos ter
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) = f(0,0) = a
Logo, a precisa ser igual a 0.

Resposta

a=0

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