(2.0 pontos)
(1.0 ponto) Verifique que o limite abaixo não existe
lim (x, y) (0,0) x^2-y^2x^2+2 y^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar que o limite de duas variáveis
lim(x,y)to(0,0) x^2 - y^2x^2 + 2y^2
não existe. O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos precisar usar a definição de limite e o teste de caminhos.

Passo 2

Para afirmar que um limite em duas variáveis não existe, basta encontrar dois caminhos que levem ao mesmo ponto mas dêem resultados diferentes. Segundo a definição de limite, todos os caminhos devem convergir ao mesmo valor para que o limite exista.

Passo 3

Vamos aproximar pelo caminho dado pela reta y=0. Substituindo em f(x,y)=x^2 - y^2x^2 + 2y^2 temos
f(x,0)=x^2-0^2x^2+2cdot0^2=1
Logo, ao longo de y=0 o limite é 1.

Passo 4

Agora aproximamos pelo caminho dado pela reta x=0. Substituindo em f obtemos
f(0,y)=0^2-y^20^2+2y^2=-y^22y^2=-tfrac12
Portanto, ao longo de x=0 o limite é -\tfrac12.

Passo 5

Como os valores obtidos são diferentes (1 e -\tfrac12), concluímos que o limite não pode ser único. Por isso o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados