(a) Determine o gradiente de f.
(b) Calcule o gradiente no ponto P.
(c) Determine a taxa de variação de f \operatorname{em} P na direção do vetor \mathbf{u}.
f(x, y, z)=y^{2} e^{3 \pi}, P(0,1,-1), \mathbf{u}=\left\langle\frac{3}{13}, \frac{4}{13}, \frac{12}{13}\right\rangle

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=y^{2}e^{3\pi},
pede (a) o gradiente \nabla f, (b) esse gradiente no ponto P(0,1,-1) e (c) a taxa de variação em P na direção do vetor unitário
\mathbf{u}=\bigl\langle\tfrac{3}{13},\tfrac{4}{13},\tfrac{12}{13}\bigr\rangle.
Para isso vamos usar derivadas parciais e o fato de que a derivada direcional é o produto escalar de \nabla f com \mathbf{u}.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais. Como e^{3\pi} é constante,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=0, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z) =2y\,e^{3\pi}, \quad \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=0.
Portanto o gradiente é
\nabla f(x,y,z)=\bigl\langle 0,\,2y\,e^{3\pi},\,0\bigr\rangle.

Passo 3

Agora avaliamos em P(0,1,-1). Basta substituir y=1:
\nabla f(0,1,-1) =\bigl\langle 0,\,2\cdot1\,e^{3\pi},\,0\bigr\rangle =\bigl\langle 0,\,2e^{3\pi},\,0\bigr\rangle.

Passo 4

A taxa de variação de f em P na direção de \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f(P) =\nabla f(P)\cdot \mathbf{u} =\bigl\langle 0,\,2e^{3\pi},\,0\bigr\rangle \cdot \bigl\langle\tfrac{3}{13},\tfrac{4}{13},\tfrac{12}{13}\bigr\rangle =2e^{3\pi}\cdot\tfrac{4}{13} =\tfrac{8}{13}e^{3\pi}.

Resposta

(a) \nabla f(x,y,z)=\langle 0,\,2y\,e^{3\pi},\,0\rangle
(b) \nabla f(0,1,-1)=\langle 0,\,2e^{3\pi},\,0\rangle
(c) D_{\mathbf{u}}f(P)=\tfrac{8}{13}e^{3\pi}

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