Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^{n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\bigr)^{n}.
O conteúdo principal aqui é o Teste da Raiz de Cauchy, que analisa o n-ésimo valor da raiz n-ésima de cada termo. Se
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\bigl|\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\bigr|^{n}}
satisfaz L<1, a série converge absolutamente.

Passo 2

Primeiro simplificamos a diferença
\sqrt{n+1}-\sqrt{n} =\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} =\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}.

Passo 3

Agora aplicamos o Teste da Raiz. O valor da raiz n-ésima de \bigl(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\bigr)^{n} é justamente
\sqrt[n]{\bigl(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\bigr)^{n}} =\sqrt{n+1}-\sqrt{n} =\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}.
Tomando o limite quando n\to\infty, temos
L = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = 0.

Passo 4

Como o Teste da Raiz diz que se L<1 então a série converge absolutamente, concluímos que
L=0<1 \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\bigr)^{n}
converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente pelo Teste da Raiz de Cauchy.

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