Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^{n}
\sum(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^{n}
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
O conteúdo principal aqui é o Teste da Raiz de Cauchy, que analisa o
-ésimo valor da raiz
-ésima de cada termo. Se
satisfaz
, a série converge absolutamente.
Passo 2
Primeiro simplificamos a diferença
Passo 3
Agora aplicamos o Teste da Raiz. O valor da raiz
-ésima de
é justamente
Tomando o limite quando
, temos
Passo 4
Como o Teste da Raiz diz que se
então a série converge absolutamente, concluímos que
converge absolutamente.
Resposta
A série converge absolutamente pelo Teste da Raiz de Cauchy.