Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\frac{2}{3}+\frac{2 \times 4}{3 \times 7}+\frac{2 \times 4 \times 6}{3 \times 7 \times 11}+) \frac{2 \times 4 \times 6 \times 8}{3 \times 7 \times 11 \times 15}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos cuja forma geral é
a_n = \frac{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}{3\cdot7\cdot11\cdots(4n-1)}.
O conteúdo da matéria é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste da razão.

Passo 2

Observamos que a_n>0 para todo n. Pelo teste da razão, definimos
L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}.

Passo 3

Escrevendo a_{n+1} em função de a_n, temos
a_{n+1} = \frac{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)\cdot2(n+1)} {3\cdot7\cdot11\cdots(4n-1)\cdot\bigl[4(n+1)-1\bigr]} = a_n \,\frac{2(n+1)}{4n+3}.

Passo 4

Calculamos o limite da razão:
L = \lim_{n\to\infty} \frac{2(n+1)}{4n+3} = \lim_{n\to\infty} \frac{2n+2}{4n+3} = \frac{1}{2}.

Passo 5

Como L=\tfrac12<1, pelo teste da razão a série \sum a_n converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente pelo teste da razão, pois o limite da razão dos termos é 1/2<1.

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