Questāo 01 ( 1,5 cada questāo) - Justificando sua resposta, afirme sobre a convergência ou divergência das sequências.
\left\{\sqrt{\frac{1+2 n}{n}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da sequência
a_n = \sqrt{\frac{1 + 2n}{n}}.
O conteúdo envolvido é limite de sequência real. Para resolver, vamos usar propriedades de limites (limite da soma e do quociente) e a continuidade da função raiz quadrada.

Passo 2

Reescrevemos a_n de forma mais simples, dividindo o numerador por n:
a_n = \sqrt{\frac{1 + 2n}{n}} = \sqrt{2 + \frac{1}{n}}.

Passo 3

Sabemos que
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0,
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\lim_{n \to \infty}\Bigl(2 + \tfrac{1}{n}\Bigr) = 2 + 0 = 2.

Passo 4

Como a função f(x)=\sqrt{x} é contínua em [0,\infty), podemos “passar o limite para dentro da raiz”:
\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 + \tfrac{1}{n}} = \sqrt{\lim_{n \to \infty}\Bigl(2 + \tfrac{1}{n}\Bigr)} = \sqrt{2}.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n \to \infty} a_n = \sqrt{2}.

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