Questāo 01 ( 1,5 cada questāo) - Justificando sua resposta, afirme sobre a convergência ou divergência das sequências.
\left\{\frac{n^{2}}{1+3 n^{2}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência \{a_n\} definida por
a_n \;=\; \frac{n^2}{1 + 3n^2}.
O conteúdo é limite de sequência e a ideia é verificar se existe
\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n. Se esse limite for finito, a sequência converge para esse valor; caso contrário, diverge.

Passo 2

Para calcular o limite, dividimos numerador e denominador pelo maior grau de n, que é n^2. Assim:
a_n \;=\; \frac{n^2}{1 + 3n^2} \;=\; \frac{1}{\frac{1}{n^2} + 3}.
Ao fazermos n\to\infty, temos \frac{1}{n^2}\to 0, logo
\lim_{n\to\infty}a_n \;=\; \frac{1}{0 + 3} \;=\; \frac{1}{3}.

Passo 3

Como o limite existe e é finito, concluímos que a sequência converge e seu valor de convergência é \tfrac{1}{3}.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{1 + 3n^2} \;=\;\frac{1}{3}.

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