Determine os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função
. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente análise de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar usar derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os pontos críticos da função. Isso significa encontrar os valores de
e
onde as derivadas parciais de
em relação a
e
são iguais a zero.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Igualando a zero:
Passo 4
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Igualando a zero:
Passo 5
Encontramos um ponto crítico em
. Agora, vamos determinar se esse ponto é um mínimo, máximo ou ponto de sela. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve o cálculo das segundas derivadas parciais e do discriminante
.
Passo 6
Calculando as segundas derivadas parciais:
Passo 7
Calculando o discriminante
:
Como
e
, isso indica que o ponto crítico é um mínimo local.
Resposta
A função
possui um mínimo local no ponto
com valor mínimo igual a
. Não há máximos locais nem pontos de sela.