Determine os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela de: f(x, y) = x^2 + 2y^2 - 4x + 2y + 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função . A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente análise de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar usar derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os pontos críticos da função. Isso significa encontrar os valores de e onde as derivadas parciais de em relação a e são iguais a zero.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
Igualando a zero:

Passo 4

Calculando a derivada parcial em relação a :
Igualando a zero:

Passo 5

Encontramos um ponto crítico em . Agora, vamos determinar se esse ponto é um mínimo, máximo ou ponto de sela. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve o cálculo das segundas derivadas parciais e do discriminante .

Passo 6

Calculando as segundas derivadas parciais:

Passo 7

Calculando o discriminante :
Como e , isso indica que o ponto crítico é um mínimo local.

Resposta

A função possui um mínimo local no ponto com valor mínimo igual a . Não há máximos locais nem pontos de sela.

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