Usando a definição da derivada como um limite, determine
dd x(1x^2+5 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada! A gente precisa calcular a derivada da função $ \frac{1}{x^{2}} + 5x $ usando a definição de derivada como um limite. Isso envolve entender um pouco de cálculo, especialmente como a derivada mede a taxa de variação de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função $ f(x) $ em relação a $ x $ é dada por:
f(x)
Isso significa que a derivada é o limite da diferença da função em dois pontos bem próximos, dividida pela distância entre esses pontos, quando essa distância tende a zero.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função $ f(x) = \frac{1}{x^{2}} + 5x $. Primeiro, precisamos calcular $ f(x + h) $:
f(x) = 1x^2 + 5x

Passo 4

Agora, vamos montar a expressão da derivada usando a definição:
f'(x) = limh to 0 ( 1(x + h)^2 + 5(x + h) ) - ( 1x^2 + 5x )h

Passo 5

Simplificando o numerador:
1(x + h)^2 - 1x^2 + 5x + 5h - 5x = 1(x + h)^2 - 1x^2 + 5h
Então, a expressão fica:
f'(x) = limh to 0 1(x + h)^2 - 1x^2 + 5hh

Passo 6

Vamos separar os termos:
f'(x) = limh to 0 ( 1(x + h)^2 - 1x^2h + 5hh ) = limh to 0 ( 1(x + h)^2 - 1x^2h + 5 )

Passo 7

Vamos focar agora no limite do primeiro termo:
limh to 0 1(x + h)^2 - 1x^2h = limh to 0 x^2 - (x + h)^2h cdot x^2(x + h)^2
Expandindo $ (x + h)^{2} $:
(x + h)^2
Então:
(x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2
Substituindo de volta:
x^2 - (x^2 + 2xh + h^2) = -2xh - h^2
Agora, quando $ h $ tende a 0:
limh to 0 -2xh - h^2h cdot x^2(x + h)^2 = limh to 0 -h(2x + h)h cdot x^2(x + h)^2 = limh to 0 -(2x + h)x^2(x + h)^2

Passo 8

Voltando à expressão original da derivada:
f'(x) = ( -2x^3 ) + 5 = 5 - 2x^3

Resposta

A derivada de $ \frac{1}{x^{2}} + 5x $ é $ f’(x) = 5 - \frac{2}{x^{3}} $.

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