Usando a definição da derivada como um limite, determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada! A gente precisa calcular a derivada da função $ \frac{1}{x^{2}} + 5x $ usando a definição de derivada como um limite. Isso envolve entender um pouco de cálculo, especialmente como a derivada mede a taxa de variação de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função $ f(x) $ em relação a $ x $ é dada por:
Isso significa que a derivada é o limite da diferença da função em dois pontos bem próximos, dividida pela distância entre esses pontos, quando essa distância tende a zero.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição à nossa função $ f(x) = \frac{1}{x^{2}} + 5x $. Primeiro, precisamos calcular $ f(x + h) $:
Passo 4
Agora, vamos montar a expressão da derivada usando a definição:
Passo 5
Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Vamos separar os termos:
Passo 7
Vamos focar agora no limite do primeiro termo:
Expandindo $ (x + h)^{2} $:
Então:
Substituindo de volta:
Agora, quando $ h $ tende a 0:
Passo 8
Voltando à expressão original da derivada:
Resposta
A derivada de $ \frac{1}{x^{2}} + 5x $ é $ f’(x) = 5 - \frac{2}{x^{3}} $.