integral duplaD(2 x+y)^2 e^x-y d A
onde D é a região limitada pelas retas 2 x+y=1,2 x+y=4, x-y=-1 e x-y=1.

Passo 1

Nesse exercício, queremos calcular a integral dupla integral duplaD (2x+y)^2 e^x-y ,dA, onde a região D é descrita pelas retas 2x+y=1, 2x+y=4, x-y=-1 e x-y=1. O conteúdo principal aqui é mudança de variáveis em integrais múltiplas e o que vamos precisar é o uso do jacobiano para transformar a região e a integral.

Passo 2

Para simplificar, vamos usar a mudança de variáveis u=2x+y e v=x-y. Primeiro, resolvemos esse sistema para x e y em função de u e v:
2x+y=u x-y=v
Somando as equações, obtemos 3x=u+v e logo x=(u+v)/3. Subtraindo, achamos y=(u-2v)/3.

Passo 3

Agora calculamos o jacobiano J=det(partial(x,y)/partial(u,v)). As derivadas parciais são:
partial xpartial u=tfrac13, partial xpartial v=tfrac13, partial ypartial u=tfrac13, partial ypartial v=-tfrac23
Então
J=1/3 & 1/31/3 & -2/3=l(tfrac13r)(-tfrac23)-l(tfrac13r)(tfrac13)=-tfrac13,
e lvert Jrvert=1/3.

Passo 4

A região D em (x,y) vira um retângulo em (u,v) com
1<= u<= 4, -1<= v<= 1
A integral passa a ser
integral duplaD (2x+y)^2 e^x-y ,dA =integral dupla[1,4]times[-1,1] u^2 e^v ,llvert Jrrvert ,du,dv =13integralu=1^4u^2,duintegralv=-1^1e^v,dv

Passo 5

Agora calculamos separadamente:
integral1^4u^2,du=l[tfracu^33r]1^4=tfrac643-tfrac13=21,
integral-1^1e^v,dv=l[e^vr]-1^1=e-tfrac1e
Multiplicando tudo, a integral vale
13times 21timesl(e-tfrac1er)=7l(e-e^-1r)

Resposta

7\bigl(e - e^{-1}\bigr)

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