Determine o gradiente dos seguintes campos escalares:
W=10 r sin ^2(theta) cos (phi)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o gradiente de um campo escalar dado por W = 10 r sin^2(theta) cos(phi) . Isso está relacionado ao cálculo vetorial, mais especificamente ao operador gradiente em coordenadas esféricas. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular o gradiente em coordenadas esféricas e aplicar as derivadas parciais apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de um campo escalar nos dá a direção e a taxa de variação mais rápida desse campo. Em coordenadas esféricas (r, theta, phi), o gradiente é calculado usando a seguinte fórmula:
nabla W = partial Wpartial r , er + 1r partial Wpartial theta , etheta + 1r sin theta partial Wpartial phi , ephi
Aqui, er, etheta, e ephi são os vetores unitários nas direções das coordenadas esféricas.

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias.
Primeiro, a derivada parcial de W em relação a r :
partial Wpartial r = partialpartial r ( 10 r sin^2(theta) cos(phi) ) = 10 sin^2(theta) cos(phi)

Passo 4

Agora, a derivada parcial de W em relação a theta :
partial Wpartial theta = partialpartial theta ( 10 r sin^2(theta) cos(phi) ) = 10 r cdot 2 sin(theta) cos(theta) cos(phi) = 20 r sin(theta) cos(theta) cos(phi)

Passo 5

Por último, a derivada parcial de W em relação a phi :
partial Wpartial phi = partialpartial phi ( 10 r sin^2(theta) cos(phi) ) = -10 r sin^2(theta) sin(phi)

Passo 6

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do gradiente:
nabla W = ( 10 sin^2(theta) cos(phi) ) er + ( 20 r sin(theta) cos(theta) cos(phi)r ) etheta + ( -10 r sin^2(theta) sin(phi)r sin theta ) ephi
Simplificando:
nabla W = 10 sin^2(theta) cos(phi) , er + 20 cos(theta) cos(phi) , etheta - 10 sin(theta) sin(phi) , ephi

Resposta

O gradiente do campo escalar W = 10 r sin^2(theta) cos(phi) é:
nabla W = 10 sin^2(theta) cos(phi) , er + 20 cos(theta) cos(phi) , etheta - 10 sin(theta) sin(phi) , ephi

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