Determine o gradiente dos seguintes campos escalares:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o gradiente de um campo escalar dado por
. Isso está relacionado ao cálculo vetorial, mais especificamente ao operador gradiente em coordenadas esféricas. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular o gradiente em coordenadas esféricas e aplicar as derivadas parciais apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de um campo escalar nos dá a direção e a taxa de variação mais rápida desse campo. Em coordenadas esféricas
, o gradiente é calculado usando a seguinte fórmula:
Aqui,
,
, e
são os vetores unitários nas direções das coordenadas esféricas.
Passo 3
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias.
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Por último, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 6
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do gradiente:
Simplificando:
Resposta
O gradiente do campo escalar
é: