Determine o gradiente dos seguintes campos escalares:
Q=\frac{\operatorname{sen}(\theta) \operatorname{sen}(\varphi)}{r^{3}}\

Passo 1

O enunciado pede o gradiente do campo escalar
Q(r,\theta,\varphi)=\frac{\sin(\theta)\,\sin(\varphi)}{r^{3}}
em coordenadas esféricas. Para isso, vamos usar a expressão do operador gradiente em coordenadas esféricas e calcular as derivadas parciais de Q.

Passo 2

Em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi), o gradiente de um escalar Q é dado por
\nabla Q \;=\;\hat{e}_{r}\,\frac{\partial Q}{\partial r} \;+\;\hat{e}_{\theta}\,\frac{1}{r}\,\frac{\partial Q}{\partial \theta} \;+\;\hat{e}_{\varphi}\,\frac{1}{r\sin\theta}\,\frac{\partial Q}{\partial \varphi}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de Q:
\frac{\partial Q}{\partial r} =\frac{\partial}{\partial r}\!\biggl(r^{-3}\sin\theta\sin\varphi\biggr) =-3\,\frac{\sin\theta\sin\varphi}{r^{4}},
\frac{\partial Q}{\partial \theta} =\frac{\partial}{\partial \theta}\!\biggl(r^{-3}\sin\theta\sin\varphi\biggr) =r^{-3}\cos\theta\sin\varphi,
\frac{\partial Q}{\partial \varphi} =\frac{\partial}{\partial \varphi}\!\biggl(r^{-3}\sin\theta\sin\varphi\biggr) =r^{-3}\sin\theta\cos\varphi.

Passo 4

Substituindo no operador gradiente:
\nabla Q =\hat{e}_{r}\Bigl(-3\,\frac{\sin\theta\sin\varphi}{r^{4}}\Bigr) +\hat{e}_{\theta}\Bigl(\frac{1}{r}\,\frac{\cos\theta\sin\varphi}{r^{3}}\Bigr) +\hat{e}_{\varphi}\Bigl(\frac{1}{r\sin\theta}\,\frac{\sin\theta\cos\varphi}{r^{3}}\Bigr).
Agora simplificamos cada componente:
\hat{e}_{r}:\;-3\,\frac{\sin\theta\sin\varphi}{r^{4}},\quad \hat{e}_{\theta}:\;\frac{\cos\theta\sin\varphi}{r^{4}},\quad \hat{e}_{\varphi}:\;\frac{\cos\varphi}{r^{4}}.

Resposta

\boxed{\nabla Q =\frac{1}{r^{4}}\Bigl[ -3\,\sin\theta\,\sin\varphi\,\hat{e}_{r} +\cos\theta\,\sin\varphi\,\hat{e}_{\theta} +\cos\varphi\,\hat{e}_{\varphi} \Bigr].}

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