Determine o gráfico dos lugares geométricos representados por:
\left|\frac{z+1}{z-1}\right|=2

Passo 1

O enunciado pede para achar o lugar geométrico dos pontos z=x+iy que satisfazem
\left|\frac{z+1}{z-1}\right| = 2.
O conteúdo é o círculo de Apolônio, onde a razão das distâncias de z a dois pontos fixos é constante.

Passo 2

Usamos a propriedade do módulo de quociente:
\left|\frac{z+1}{z-1}\right| = \frac{|z+1|}{|z-1|}.
Logo a condição vira
|z+1| = 2\,|z-1|.

Passo 3

Elevamos os dois lados ao quadrado para eliminar as raízes:
|z+1|^2 = 4\,|z-1|^2.

Passo 4

Escrevendo z=x+iy, temos
|z+1|^2 = (x+1)^2 + y^2, \quad |z-1|^2 = (x-1)^2 + y^2,
portanto a equação é
(x+1)^2 + y^2 = 4\bigl((x-1)^2 + y^2\bigr).

Passo 5

Expandindo e agrupando termos:
x^2 + 2x +1 + y^2 = 4x^2 -8x +4 +4y^2
0 = 4x^2 -8x +4 +4y^2 - x^2 -2x -1 - y^2
0 = 3x^2 -10x +3 +3y^2.

Passo 6

Dividindo por 3 e completando quadrado em x:
x^2 - \frac{10}{3}x +1 + y^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - \frac{10}{3}x + \Bigl(\frac{5}{3}\Bigr)^2 + y^2 = \Bigl(\frac{5}{3}\Bigr)^2 -1
(x - \tfrac{5}{3})^2 + y^2 = \frac{25}{9} - \frac{9}{9} = \frac{16}{9}.

Passo 7

Concluímos que o lugar geométrico é o círculo de centro \bigl(\tfrac{5}{3},0\bigr) e raio \tfrac{4}{3}.

Resposta

O lugar geométrico é o círculo de centro \bigl(\tfrac{5}{3},0\bigr) e raio \tfrac{4}{3}.

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