Determine o gráfico dos lugares geométricos representados por:
\left|\frac{z+1}{z-1}\right|=1

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos z no plano complexo que satisfazem
\left|\frac{z+1}{z-1}\right| = 1.
O conteúdo aqui é propriedades de módulo de número complexo e interpretação geométrica de equilocalidade.

Passo 2

Usamos a propriedade de módulo de quociente:
\left|\frac{z+1}{z-1}\right| = \frac{|z+1|}{|z-1|}.
Portanto
\frac{|z+1|}{|z-1|}=1 \quad\Longrightarrow\quad |z+1| = |z-1|.

Passo 3

A igualdade |z+1| = |z-1| diz que a distância de z até -1 é igual à distância de z até 1. Geometricamente, isso é a mediatriz do segmento que liga os pontos -1 e 1, ou seja, a reta vertical que passa exatamente no meio desse segmento.

Resposta

O lugar geométrico é a reta
\Re(z) = 0,
isto é, o eixo imaginário.

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