Determine o gráfico dos lugares geométricos representados por:
\left|\frac{z+i}{z-i}\right|=1

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de pontos z no plano complexo que satisfaz
\left|\frac{z+i}{z-i}\right|=1.
O tema é lugar geométrico em \mathbb{C}. Vamos usar a propriedade
\displaystyle\bigl|\tfrac{a}{b}\bigr|=\tfrac{|a|}{|b|}
e interpretar |z - z_0| como distância de z até z_0.

Passo 2

Escrevendo z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}, temos
|z+i| = \sqrt{x^2+(y+1)^2}, \qquad |z-i| = \sqrt{x^2+(y-1)^2}.
A condição \bigl|\tfrac{z+i}{z-i}\bigr|=1 vira
\sqrt{x^2+(y+1)^2} \;=\;\sqrt{x^2+(y-1)^2}.
Elevando ao quadrado e simplificando:
x^2+(y+1)^2 = x^2+(y-1)^2 \quad\Longrightarrow\quad y^2+2y+1 = y^2-2y+1 \quad\Longrightarrow\quad 4y=0 \quad\Longrightarrow\quad y=0.

Passo 3

O resultado y=0 significa \Im(z)=0. Geometricamente, é a reta real (eix o real) no plano complexo.

Resposta

O lugar geométrico é a reta real, isto é
\{\,z\in\mathbb{C}: \Im(z)=0\}.

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