Identifique e esboce a superfície quádrica:
x^24+y^29-z^216=1

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a superfície definida por x^24+y^29-z^216=1. O conteúdo é classificação de superfícies quádricas e análise de secções principais (planos coordenados) para montar o esboço.

Passo 2

Observamos os coeficientes dos termos quadráticos: os de x^2 e y^2 são positivos e o de z^2 é negativo, ficando com o padrão (+,+,-)=1. Esse padrão caracteriza um hiperboloide de uma folha cujo eixo principal é o eixo z.

Passo 3

Para entender o formato, fazemos secções por planos paralelos a xy: fixando z=z0 temos
x^24+y^29=1+z0^216,
que é sempre uma elipse de semieixos 2raiz1+z0^2/16 e 3raiz1+z0^2/16. No plano z=0 a secção é a elipse x^2/4+y^2/9=1 com eixos 4 e 6.

Passo 4

Nas secções por planos contendo o eixo z, por exemplo y=0, obtemos
x^24-z^216=1,
que é uma hipérbole aberta no sentido de x. O mesmo vale para x=0 gerando hipérbole em y,z.

Passo 5

Com essas secções dá para esboçar o hiperboloide de uma folha: centro na origem, ‘cintura’ no plano z=0, e se abrindo conforme |z| cresce, mantendo-se sempre conectado.

Passo 6

No esboço, desenhe a elipse no plano z=0, depois curvas elípticas maiores para z>0 e z<0, e trace as hipérboles nas projeções laterais para visualizar o formato 3D.

Resposta

Hiperboloide de uma folha centrado na origem com eixo principal no eixo z.

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