Determine se o grupo
, das permutações de 3 objetos, é cíclico. Caso seja, determine seus geradores.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o grupo
é cíclico e, em caso afirmativo, encontrar todos os seus geradores. O conteúdo envolvido é teoria de grupos, em particular a definição de grupo cíclico e o cálculo de ordens de elementos.
Passo 2
Lembremos que um grupo
de ordem
é cíclico se existe um elemento
cuja ordem seja exatamente
. Aqui temos
, então, para ser cíclico, deveria existir
com
.
Passo 3
Listamos os elementos de
e calculamos suas ordens:
Passo 4
Como não há nenhum elemento em
de ordem
, não existe gerador capaz de gerar todo o grupo. Logo,
não é cíclico.