Determine se o grupo S3, das permutações de 3 objetos, é cíclico. Caso seja, determine seus geradores.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o grupo ,S3, é cíclico e, em caso afirmativo, encontrar todos os seus geradores. O conteúdo envolvido é teoria de grupos, em particular a definição de grupo cíclico e o cálculo de ordens de elementos.

Passo 2

Lembremos que um grupo G de ordem n é cíclico se existe um elemento gin G cuja ordem seja exatamente n. Aqui temos lvert S3rvert=6, então, para ser cíclico, deveria existir gin S3 com ord(g)=6.

Passo 3

Listamos os elementos de S3 e calculamos suas ordens:
&e(identidade),ord(e)=1, &(12),,(13),,(23)(três transposições),ord((ij))=2, &(123),,(132)(dois 3-ciclos),ord((123))=ord((132))=3 êçõ

Passo 4

Como não há nenhum elemento em S3 de ordem 6, não existe gerador capaz de gerar todo o grupo. Logo, S3 não é cíclico.

Resposta

S3 não é cíclico.

Exercícios relacionados