Prove ou contradiga: se
e
são subgrupos de um grupo
, então
é um subgrupo de
.
Passo 1
O enunciado pergunta se, dado um grupo
e dois subgrupos
e
de
, a união
é sempre um subgrupo de
. Para resolver isso, vamos usar o teste de subgrupo, que diz: um subconjunto não vazio
é subgrupo se e somente se para todo
tivermos
. Em particular, precisamos checar fechamento (produtos e inversos) em
.
Passo 2
Mostramos que a afirmação é falsa com um contraexemplo. Considere o grupo aditivo
e os subgrupos
Então
e
, mas
não pertence nem a
nem a
. Logo
que viola o teste de subgrupo. Assim,
nem sempre é subgrupo de
.
Passo 3
Apesar disso, existe uma condição que garante que a união
é subgrupo:
De fato, se
então
e contamos com o fato de
já ser subgrupo (idem se
).
Passo 4
Mostramos que essa condição é também necessária. Suponha
subgrupo, mas que nem
nem
. Então existe
Como
é subgrupo, deve ser fechado sob produtos e inversos, então
Porém
e
, logo
(caso contrário
). E também
(caso contrário
), então se
teríamos
, contradição. Portanto
não pode estar em
, violando a hipótese de subgrupo. Logo um dos inclusões deve valer.
Resposta
A afirmação geral é falsa. Por exemplo, em
temos
Mais ainda,
é subgrupo de
se e somente se
ou
.