Prove ou contradiga: se H e K são subgrupos de um grupo G, então H cup K é um subgrupo de G.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dado um grupo G e dois subgrupos H e K de G, a união Hcup K é sempre um subgrupo de G. Para resolver isso, vamos usar o teste de subgrupo, que diz: um subconjunto não vazio Ssubseteq G é subgrupo se e somente se para todo x,yin S tivermos xy^-1in S. Em particular, precisamos checar fechamento (produtos e inversos) em Hcup K.

Passo 2

Mostramos que a afirmação é falsa com um contraexemplo. Considere o grupo aditivo
(Z,+)
e os subgrupos
H=2Z=dots,-4,-2,0,2,4,dots, K=3Z=dots,-6,-3,0,3,6,dots
Então 2in H e 3in K, mas
2+3=5
não pertence nem a 2Z nem a 3Z. Logo
2,3in Hcup K porém 2+3notin Hcup K, é
que viola o teste de subgrupo. Assim, Hcup K nem sempre é subgrupo de G.

Passo 3

Apesar disso, existe uma condição que garante que a união Hcup K é subgrupo:
Hcup K é subgrupo de G Leftrightarrow Hsubseteq K ou Ksubseteq H é
De fato, se Hsubseteq K então Hcup K=K e contamos com o fato de K já ser subgrupo (idem se Ksubseteq H).

Passo 4

Mostramos que essa condição é também necessária. Suponha Hcup K subgrupo, mas que nem Hsubseteq K nem Ksubseteq H. Então existe
hin Hsetminus K e kin Ksetminus H
Como Hcup K é subgrupo, deve ser fechado sob produtos e inversos, então
h,k^-1in Hcup K
Porém k^-1in K e hnotin K, logo h,k^-1notin K (caso contrário h=(h,k^-1),kin K). E também k^-1notin H (caso contrário k=(k^-1)^-1in H), então se h,k^-1in H teríamos k^-1=h^-1(h,k^-1)in H, contradição. Portanto h,k^-1 não pode estar em Hcup K, violando a hipótese de subgrupo. Logo um dos inclusões deve valer.

Resposta

A afirmação geral é falsa. Por exemplo, em (Z,+) temos
2in2Z,3in3Z,2+3=5notin2Zcup3Z
Mais ainda, Hcup K é subgrupo de G se e somente se Hsubseteq K ou Ksubseteq H.

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