Seja
um grupo e suponha que
para todo
e
em
. Prove que
é um grupo abeliano.
Passo 1
O enunciado diz que
é um grupo em que vale
para todo
. Queremos mostrar que
é abeliano, ou seja, que
para quaisquer
. Vamos usar propriedades de grupo (associatividade, existência de inverso e elemento neutro) e cancelamento.
Passo 2
Reescrevendo a hipótese em termos de multiplicação em
, temos
ou seja,
Passo 3
Multiplicamos à esquerda por
. Usando associatividade,
o que dá
e, como
(neutro),
Passo 4
Agora multiplicamos à direita por
,
pela associatividade,
e como
e
, segue
Passo 5
Chegamos exatamente à relação de comutação para
e
:
Como
e
eram arbitrários em
, isso mostra que todo par de elementos comuta.