Seja G um grupo e suponha que (a b)^2=a^2 b^2 para todo a e b em G. Prove que G é um grupo abeliano.

Passo 1

O enunciado diz que G é um grupo em que vale
(ab)^2 = a^2 b^2
para todo a,bin G. Queremos mostrar que G é abeliano, ou seja, que
ab = ba
para quaisquer a,bin G. Vamos usar propriedades de grupo (associatividade, existência de inverso e elemento neutro) e cancelamento.

Passo 2

Reescrevendo a hipótese em termos de multiplicação em G, temos
(ab)(ab) = (a a)(b b)
ou seja,
abab = aabb

Passo 3

Multiplicamos à esquerda por a^-1. Usando associatividade,
a^-1(abab) = a^-1(aabb)
o que dá
(a^-1a),bab = (a^-1a),abb
e, como a^-1a = e (neutro),
bab = a b^2

Passo 4

Agora multiplicamos à direita por b^-1$,
bab,b^-1 = a b^2 b^-1
pela associatividade,
ba,(b b^-1) = a,(b^2b^-1),
e como b b^-1=e e b^2b^-1=b, segue
ba = a b

Passo 5

Chegamos exatamente à relação de comutação para a e b:
ab = ba
Como a e b eram arbitrários em G, isso mostra que todo par de elementos comuta.

Resposta

G é abeliano, isto é, ab = ba para todos a,bin G.

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