Uma função f: R R chama-se par quando f(-x)=f(x), forall x in R. Verifique se o conjunto P de todas as funções pares de R em R é subgrupo de lang<=R^R,+rang<=.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
P = ,f:RtoRmid f(-x)=f(x) forall xinR
é subgrupo de llang<=R^R,+rrang<=.
O grupo ambientenal llang<=R^R,+rrang<= tem operação definida ponto a ponto:
(f+g)(x)=f(x)+g(x),
identidade a função zero 0 dada por 0(x)=0 e inverso de f é (-f)(x)=-f(x).
Para verificar que P é subgrupo, basta checar que
  1. a identidade pertence a P,
  2. P é fechada em soma,
  3. P é fechada em inversos.

Passo 2

Verificamos que a identidade do grupo, isto é, a função zero
0:RtoR, 0(x)=0,
é par, pois para todo x
0(-x)=0=0(x)
Logo 0inP.

Passo 3

Fechamento em soma.
Sejam f,ginP. Então, para todo xinR,
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x)
Isto mostra que f+g também é par, logo f+ginP.

Passo 4

Fechamento em inversos.
Seja finP. Então, para todo xinR,
(-f)(-x)=-,f(-x)=-,f(x)=(-f)(x)
Portanto -f é par, isto é, -finP.

Resposta

O conjunto P satisfaz as condições de conter a identidade, ser fechado sob soma e fechado sob inverso.
Logo P é subgrupo de llang<=R^R,+rrang<=.

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