Uma função
chama-se par quando
. Verifique se o conjunto
de todas as funções pares de
em
é subgrupo de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é subgrupo de
.
O grupo ambientenal tem operação definida ponto a ponto:
O grupo ambientenal
identidade a função zero
dada por
e inverso de
é
.
Para verificar que é subgrupo, basta checar que
Para verificar que
- a identidade pertence a
, -
é fechada em soma, -
é fechada em inversos.
Passo 2
Verificamos que a identidade do grupo, isto é, a função zero
é par, pois para todo
Logo
.
Passo 3
Fechamento em soma.
Sejam . Então, para todo
,
Sejam
Isto mostra que
também é par, logo
.
Passo 4
Fechamento em inversos.
Seja . Então, para todo
,
Seja
Portanto
é par, isto é,
.
Resposta
O conjunto
satisfaz as condições de conter a identidade, ser fechado sob soma e fechado sob inverso.
Logo é subgrupo de
.
Logo