Determine, se houver, os pontos da curva y=3 x^4+4 x^3-12 x^2+20 nos quais a reta tangente é horizontal.

Passo 1

O enunciado pede os pontos da curva
y = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 20
nos quais a reta tangente é horizontal. Isso significa encontrar onde a derivada de y em relação a x é zero. Vamos usar as regras de derivação de polinômios (regra do poder).

Passo 2

Derivando y em relação a x pelo método da regra do poder, cada termo ax^n vira a n x^n-1. Logo,
y' = ddxl(3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 20r) = 12x^3 + 12x^2 - 24x

Passo 3

Para tangente horizontal, impomos y'=0. Assim,
12x^3 + 12x^2 - 24x = 0 Longrightarrow 12xl(x^2+x-2r)=0
Como 12neq0, temos
x,(x^2+x-2)=0
As soluções são x=0 e as raízes de x^2+x-2=0. Pela fórmula de Bhaskara,
x = -1pmraiz1+82 = -1pm32 ;Longrightarrow; x=1,;x=-2
Logo os candidatos são x=-2,,0,,1.

Passo 4

Agora, para cada raiz, calculamos y:
Quando x=-2:
y = 3(-2)^4 + 4(-2)^3 - 12(-2)^2 + 20 = 48 - 32 - 48 + 20 = -12
Quando x=0:
y = 20
Quando x=1:
y = 3 + 4 - 12 + 20 = 15

Passo 5

Portanto, os pontos em que a reta tangente é horizontal são
(-2,-12),(0,20),(1,15)

Resposta

Os pontos são (-2,-12), (0,20) e (1,15).

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