Determine m para que:
(i) (m+1) x^2-2(m-1) x+3(m-1)<0, forall x in R

Passo 1

O enunciado pede os valores de m tais que a inequação
(m+1)x^2-2(m-1)x+3(m-1)<0
seja satisfeita para todo xinR. Isso é um problema de estudo de sinal de uma parábola: para que ela seja negativa em toda reta, sua concavidade deve ser voltada para baixo (coeficiente quadrático negativo) e ela não pode ter raízes reais (discriminante negativo).

Passo 2

Impondo que o coeficiente de x^2 seja negativo:
m+1<0Longrightarrow m<-1

Passo 3

Calculamos o discriminante da parábola. Aqui o coeficiente de x é
b=-2(m-1),
e o discriminante é
De<a = b^2 - 4ac = l[-2(m-1)r]^2 - 4,(m+1),l[3(m-1)r]

Passo 4

Fazendo as contas:
De<a = 4(m-1)^2 - 12(m+1)(m-1) = 4l[(m-1)^2 -3(m+1)(m-1)r] = -8,(m-1)(m+2)
Queremos De<a<0, ou seja
-8,(m-1)(m+2)<0 Long<=ftrightarrow (m-1)(m+2)>0 Longrightarrow m<-2 ou m>1

Passo 5

Juntando as condições m<-1 (da concavidade) e l(m<-2 ou m>1r) (do discriminante), obtemos a interseção
m<-1e m<-2 Longrightarrow m<-2

Resposta

m< -2.

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