(h) integralpi / 6^pi / 3 4 sec ^2(y) d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integralpi/6^pi/34sec^2(y),dy
O conteúdo envolvido é a integração de funções trigonométricas, usando o fato de que a derivada de tan(y) é sec^2(y).

Passo 2

Vamos encontrar a primitiva de 4sec^2(y). Como
ddyl(tan(y)r)=sec^2(y),
temos
integral 4sec^2(y),dy = 4integral sec^2(y),dy = 4tan(y) + C

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos a primitiva entre os limites pi/6 e pi/3:
integralpi/6^pi/34sec^2(y),dy = l[4tan(y)r]pi/6^pi/3 = 4tanl(tfracpi3r) - 4tanl(tfracpi6r)

Passo 4

Sabendo que tan(pi/3)=raiz3 e tan(pi/6)=tfrac1raiz3, obtemos
4l(raiz3 - tfrac1raiz3r) = 4cdot tfrac2raiz3 = tfrac8raiz3 = tfrac8raiz33

Resposta

8raiz33

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