3- Determine \iiint_{E} 1 d V onde E é limitado pela curva y=x^{3} e pelos planos z=0, x=0, y=1 e
intervalos z=2.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do volume da região E via
\iiint_{E}1\,dV,
onde E é limitada por:
  • a superfície y=x^{3},
  • os planos x=0, y=1,
  • os planos z=0 e z=2.
    O conteúdo aqui é interpretar esses limites como um iterado de integração em coordenadas retangulares.

Passo 2

Para montar o integral iterado, observamos que:
  1. x varia de 0 até o ponto em que y=x^{3} encontra y=1, ou seja x=1.
  2. Para cada x fixo, y varia de y=x^{3} até y=1.
  3. Para cada (x,y) fixo, z varia de 0 até 2.
    Logo,
\iiint_{E}1\,dV =\int_{x=0}^{1}\int_{y=x^{3}}^{1}\int_{z=0}^{2}1\,dz\,dy\,dx.

Passo 3

Calculamos primeiro a integral em z:
\int_{z=0}^{2}1\,dz =\bigl[z\bigr]_{0}^{2} =2.
Assim,
\iiint_{E}1\,dV = \int_{x=0}^{1}\int_{y=x^{3}}^{1}2\,dy\,dx.

Passo 4

Agora integramos em y:
\int_{y=x^{3}}^{1}2\,dy =2\bigl[y\bigr]_{x^{3}}^{1} =2\bigl(1 - x^{3}\bigr).
Portanto
\iiint_{E}1\,dV =\int_{x=0}^{1}2\bigl(1 - x^{3}\bigr)\,dx.

Passo 5

Fazendo a integral em x:
\int_{0}^{1}2\bigl(1 - x^{3}\bigr)\,dx =2\Bigl[x - \tfrac{x^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{1} =2\Bigl(1 - \tfrac{1}{4}\Bigr) =2\cdot \tfrac{3}{4} =\tfrac{3}{2}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{3}{2}

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