Parte 2: Transformada Inversa de Laplace de F(s) :
Encontre \mathcal{L}^{-1}\left\{F(s)\right\}.
F(s)=\frac{1}{s^{2}}-\frac{1}{s}+\frac{1}{s-2}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{1}{s^{2}}-\frac{1}{s}+\frac{1}{s-2}.
O conteúdo envolve usar a propriedade de linearidade de \mathcal{L}^{-1} e as correspondências básicas:
\mathcal{L}\{t\}(s)=1/s^{2}, \mathcal{L}\{1\}(s)=1/s e \mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=1/(s-a).

Passo 2

Separemos F(s) em três parcelas linearmente independentes:
F(s)=F_{1}(s)+F_{2}(s)+F_{3}(s),
onde
F_{1}(s)=\frac{1}{s^{2}},\quad F_{2}(s)=-\frac{1}{s},\quad F_{3}(s)=\frac{1}{s-2}.

Passo 3

Calcular \mathcal{L}^{-1}\{F_{1}(s)\}. Como sabemos que
\mathcal{L}\{t\}(s)=\frac{1}{s^{2}},
então
f_{1}(t)=\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^{2}}\Bigr\}=t.

Passo 4

Calcular \mathcal{L}^{-1}\{F_{2}(s)\}. Como
\mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s},
temos
f_{2}(t)=\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{-\frac{1}{s}\Bigr\}=-1.

Passo 5

Calcular \mathcal{L}^{-1}\{F_{3}(s)\}. Pela tabela básica,
\mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\frac{1}{s-a},
logo, com a=2,
f_{3}(t)=\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s-2}\Bigr\}=e^{2t}.

Passo 6

Reunindo as três partes pela linearidade:
f(t)=f_{1}(t)+f_{2}(t)+f_{3}(t)=t-1+e^{2t}.

Resposta

\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}(t)=t-1+e^{2t}.

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