(\mathbf{2}, \mathbf{0} \mathbf{~ p}) - Seja a curva r(t)=(t, 3 \cos (t), 3 \operatorname{sen}(t)) \operatorname{com} t \geq 0 :
a) Determine os vetores tangente, normal e binormal unitários em um instante t.
b) Determine a curvatura, e a equação do plano osculador para a curva anterior no ponto (\pi,-3,0).
c) Determine o valor do comprimento da curva no instante t qualquer.
d) Reparametrize a curva em termos do comprimento de arco.

Passo 1

O enunciado dá a curva
\mathbf{r}(t) = \bigl(t,\;3\cos t,\;3\sin t\bigr),\quad t\ge0,
e pede:
a) os vetores unitários de Frenet ( \mathbf{T},\mathbf{N},\mathbf{B});
b) a curvatura e o plano osculador em (\pi,-3,0);
c) o comprimento de arco até um t genérico;
d) a reparametrização por comprimento de arco.

Passo 2

Calcular a derivada e o vetor tangente unitário.
\mathbf{r}'(t)=\bigl(1,\,-3\sin t,\;3\cos t\bigr).
O módulo é
\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|=\sqrt{1+9\sin^2t+9\cos^2t}=\sqrt{10}.
Logo o vetor tangente unitário é
\mathbf{T}(t) =\frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|} =\frac{1}{\sqrt{10}}\bigl(1,\,-3\sin t,\;3\cos t\bigr).

Passo 3

Calcular \mathbf{T}'(t) e o vetor normal unitário \mathbf{N}(t).
\mathbf{T}'(t) =\frac{1}{\sqrt{10}}\bigl(0,\,-3\cos t,\,-3\sin t\bigr),
e seu módulo é
\bigl\|\mathbf{T}'(t)\bigr\| =\frac{3}{\sqrt{10}}.
Portanto
\mathbf{N}(t) =\frac{\mathbf{T}'(t)}{\|\mathbf{T}'(t)\|} =\bigl(0,\,-\cos t,\,-\sin t\bigr).

Passo 4

O vetor binormal é
\mathbf{B}(t) =\mathbf{T}(t)\times\mathbf{N}(t).
Fazendo o produto vetorial encontra-se
\mathbf{B}(t) =\frac{1}{\sqrt{10}}\bigl(3,\;\sin t,\;-\,\cos t\bigr),
que de fato é unitário.

Passo 5

(a) A curvatura é
\kappa(t) =\frac{\|\mathbf{T}'(t)\|}{\|\mathbf{r}'(t)\|} =\frac{\tfrac{3}{\sqrt{10}}}{\sqrt{10}} =\frac{3}{10}.
(b) No ponto (\pi,-3,0) corresponde a t=\pi. O binormal vale
\mathbf{B}(\pi) =\frac{1}{\sqrt{10}}\bigl(3,0,1\bigr).
O plano osculador é o plano com normal \mathbf{B}(\pi) que passa por \mathbf{r}(\pi)=(\pi,-3,0). Sua equação é
\mathbf{B}(\pi)\cdot\bigl(x-\pi,\;y+3,\;z-0\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad 3(x-\pi)+1\,(z)=0
ou seja
3x+z-3\pi=0.

Passo 6

Como \|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{10} é constante, o comprimento de arco desde t=0 até t é
s(t)=\int_{0}^{t}\|\mathbf{r}'(u)\|\,du =\int_{0}^{t}\sqrt{10}\,du =\sqrt{10}\,t.

Passo 7

Para reparametrizar por comprimento, invertendo s=\sqrt{10}\,t, temos t=s/\sqrt{10}. Logo
\mathbf{r}(s) =\Bigl(\tfrac{s}{\sqrt{10}},\; 3\cos\!\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{10}}\bigr),\; 3\sin\!\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{10}}\bigr)\Bigr), \quad s\ge0.

Resposta

a)
\mathbf{T}(t)=\frac{1}{\sqrt{10}}\bigl(1,\,-3\sin t,\;3\cos t\bigr),\quad \mathbf{N}(t)=\bigl(0,\,-\cos t,\,-\sin t\bigr),\quad \mathbf{B}(t)=\frac{1}{\sqrt{10}}\bigl(3,\;\sin t,\;-\,\cos t\bigr).
b)
\displaystyle \kappa=\tfrac{3}{10}
e plano osculador em (\pi,-3,0):
3x+z-3\pi=0.
c)
s(t)=\sqrt{10}\,t.
d)
\mathbf{r}(s) =\Bigl(\tfrac{s}{\sqrt{10}},\; 3\cos\!\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{10}}\bigr),\; 3\sin\!\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{10}}\bigr)\Bigr).

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