( \mathbf{2 , 0 ~ p} )- Sobre curvas:
Calcule a área delimitada pela elipse \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, usando o teorema de Green. Calcule a curvatura num ponto qualquer da elipse.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a elipse
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1:
  1. A área que ela delimita, usando o Teorema de Green.
  2. A curvatura em um ponto genérico.
    Para isso vamos lembrar (a) da forma de calcular área via linha fechada e (b) da definição de curvatura de uma curva parametrizada.

Passo 2

Teorema de Green aplicado à área dá a fórmula
\text{Área}=\frac12\oint_{C}\bigl(x\,dy - y\,dx\bigr),Á
onde C é a fronteira orientada positivamente (contra-horário).

Passo 3

Parametrizamos a elipse por
x(t)=a\cos t, \quad y(t)=b\sin t, \quad t\in[0,2\pi].
Então
dx=-a\sin t\,dt, \quad dy=b\cos t\,dt.

Passo 4

Substituindo em
\displaystyle \tfrac12\int_{0}^{2\pi}\bigl(x\,dy - y\,dx\bigr) obtemos
\frac12\int_{0}^{2\pi}\bigl(a\cos t\,\cdot b\cos t \;-\; b\sin t\,\cdot(-a\sin t)\bigr)\,dt = \frac12\int_{0}^{2\pi}ab(\cos^{2}t+\sin^{2}t)\,dt.

Passo 5

Como \cos^{2}t+\sin^{2}t=1, a integral vira
\frac12\int_{0}^{2\pi}ab\,dt =\frac12\cdot ab\cdot 2\pi =\pi ab.
Logo a área é \pi ab.

Passo 6

Para a curvatura de uma curva parametrizada (x(t),y(t)), usamos
\kappa(t) = \frac{\bigl|x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)\bigr|} {\bigl(x'(t)^{2}+y'(t)^{2}\bigr)^{3/2}}.

Passo 7

No nosso caso
x'=-a\sin t,\quad y'=b\cos t, \quad x''=-a\cos t,\quad y''=-b\sin t.
Calculamos o numerador:
x'y''-y'x'' =(-a\sin t)(-b\sin t) \;-\;(b\cos t)(-a\cos t) =ab(\sin^{2}t+\cos^{2}t) =ab.
O denominador é
\bigl(a^{2}\sin^{2}t + b^{2}\cos^{2}t\bigr)^{3/2}.

Passo 8

Portanto a curvatura em t é
\kappa(t) = \frac{ab} {\bigl(a^{2}\sin^{2}t + b^{2}\cos^{2}t\bigr)^{3/2}}.
Em termos de (x,y) na própria elipse, como x=a\cos t e y=b\sin t, obtém-se também
\kappa = \frac{ab} {\bigl(b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}\bigr)^{3/2}}.

Resposta

A área delimitada pela elipse é
\boxed{\pi\,a\,b}.
A curvatura num ponto genérico t é
\boxed{ \kappa(t) =\frac{ab} {\bigl(a^{2}\sin^{2}t + b^{2}\cos^{2}t\bigr)^{3/2}} } \quad\text{ou, em coordenadas \((x,y)\),}\quad \boxed{ \kappa =\frac{ab} {\bigl(b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}\bigr)^{3/2}} }.

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