Determine a imagem do conjunto S sob a transformação dada.
l S=(u, v) mid 0 <= u <= 3,0 <= v <= 2 ; x=2 u+3 v, y=u-v

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S = (u,v)mid 0 <= u <= 3,;0 <= v <= 2
e a transformação linear
x = 2u + 3v, y = u - v
Queremos achar a imagem de S no plano (x,y), ou seja, o conjunto
T = (x,y)mid (x,y)=(2u+3v,,u-v),;(u,v)in S
O conteúdo é mapeamento de regiões por transformações lineares.

Passo 2

Vamos identificar os vértices de S e suas imagens. Os vértices de S são
(u,v) = (0,0),,(3,0),,(0,2),,(3,2). Calculando:
(0,0)mapsto(0,0), (3,0)mapsto(2cdot3+3cdot0,,3-0)=(6,3),
(0,2)mapsto(2cdot0+3cdot2,,0-2)=(6,-2), (3,2)mapsto(2cdot3+3cdot2,,3-2)=(12,1)
Logo a imagem é o paralelogramo de vértices (0,0), (6,3), (6,-2) e (12,1).

Passo 3

Para descrever esse paralelogramo por desigualdades, invertemos o sistema
x = 2u + 3v, y = u - v
Da segunda equação vem u = y+v. Substituindo em x=2u+3v:
x = 2(y+v) +3v = 2y +5v ;Longrightarrow; v = x - 2y5
Então
u = y + x-2y5 = x+3y5

Passo 4

Como (u,v)in S satisfaz 0<= u<=3 e 0<= v<=2, temos
0 <= x+3y5 <= 3, 0 <= x-2y5 <= 2
Multiplicando por 5:
0 <= x+3y <= 15, 0 <= x-2y <= 10
Isto define exatamente o paralelogramo que encontramos pelos vértices.

Resposta

A imagem de S é o paralelogramo
T = (x,y)in R^2 mid 0 <= x+3y <= 15,;0 <= x-2y <= 10,
cujo vértices são (0,0), (6,3), (6,-2) e (12,1).

Exercícios relacionados