Faça o mapa de contorno da função mostrando curvas de nível nos cortes f(x, y)=k.
f(x, y)=y e^x, k=-2,-1,0,1,2

Passo 1

O enunciado pede o mapa de contorno (curvas de nível) da função
f(x,y)=y,e^x
para os valores de nível k=-2,-1,0,1,2.
Conteúdo: curvas de nível de funções de duas variáveis. Vamos usar a definição de curva de nível:
f(x,y)=k

Passo 2

Escrevendo a condição de curva de nível, temos
y,e^x=k

Passo 3

Isolando y em função de x e do parâmetro k, obtemos
y = k,e^-x
Portanto cada curva de nível é uma exponencial deslocada, com coeficiente k.

Passo 4

Análise geométrica dessas curvas:
  • Se k>0, a curva fica acima do eixo x, parte em y(0)=k, decresce para zero quando xto+infty e dispara para +infty quando xto-infty.
  • Se k<0, a curva é a mesma forma, mas refletida abaixo do eixo x.
  • Se k=0, a curva de nível é simplesmente
y=0,
isto é, o próprio eixo x.

Passo 5

O mapa de contorno consiste, no plano (x,y), nas cinco curvas
y = k,e^-x, kin-2,-1,0,1,2,
traçadas simultaneamente:
  • para k=2 e k=1, duas exponenciais acima do eixo,
  • para k=0, o eixo x,
  • para k=-1 e k=-2, duas exponenciais simétricas abaixo do eixo.

Resposta

As curvas de nível são
y = k,e^-x,
para k=-2,-1,0,1,2.

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