Faça o mapa de contorno da função mostrando curvas de nível nos cortes f(x, y)=k.
f(x, y)=ln (x^2+4 y^2), k=-2,-1,0,1,2

Passo 1

O enunciado pede o mapa de contorno (curvas de nível) da função
f(x,y)=lnl(x^2+4y^2r)
nos níveis k=-2,-1,0,1,2.
O conteúdo é curvas de nível de funções de duas variáveis: para cada valor de k resolvemos f(x,y)=k e reconhecemos a forma geométrica resultante.

Passo 2

Impondo a condição de nível, temos
lnl(x^2+4y^2r)=k
Aplicando a exponencial em ambos os lados,
x^2+4y^2=e^k

Passo 3

Reescrevendo em forma padrão de elipse, divide-se por e^k:
x^2e^k+4y^2e^k=1 Longrightarrow x^2e^k+y^2e^k/4=1

Passo 4

Identificamos os semieixos da elipse de nível k:
a=raize^k, b=raize^k4=raize^k2
Para os valores pedidos:
k=-2:& e^k=e^-2,;a=e^-1,;b=tfrace^-12, k=-1:& e^k=e^-1,;a=e^-1/2,;b=tfrace^-1/22, k=0:& e^k=1,;a=1,;b=tfrac12, k=1:& e^k=e,;a=raize,;b=tfracraize2, k=2:& e^k=e^2,;a=e,;b=tfrace2

Passo 5

No plano xy, cada curva de nível é uma elipse centrada na origem, com eixos alinhados aos eixos coordenados. Conforme k cresce, e^k aumenta e as elipses ficam maiores, mantendo a razão de semieixos a/b=2.

Resposta

As curvas de nível
ln(x^2+4y^2)=k
são elipses dadas por
x^2e^k+y^2e^k/4=1,
com semieixos
a=raize^k, b=raize^k2,
nos níveis k=-2,-1,0,1,2. Essas elipses são concêntricas e crescem à medida que k aumenta.

Exercícios relacionados