7-8 Determine a imagem do conjunto S sob a transformação dada.
7.
l S=(u, v) mid 0 <= u <= 2,0 <= v <= 1 x=u-2 v, y=2 u-v

Passo 1

O enunciado pede a imagem do conjunto
S=(u,v)mid 0<= u<= 2,;0<= v<=1
pela transformação linear
x=u-2v, y=2u-v
Isso é Transformação Linear em Bbb R^2: imagens de retas são retas, paralelismo se mantém e polígonos convexos viram polígonos convexos. Em particular, um retângulo vira um paralelogramo. A ideia geral é mapear os vértices de S e ligar os pontos resultantes.

Passo 2

Identificamos os 4 vértices do retângulo S no plano (u,v):
(0,0), (2,0), (0,1), (2,1)

Passo 3

Agora aplicamos a transformação em cada um desses vértices usando
x=u-2v, y=2u-v
  • Para (u,v)=(0,0):
x=0-2cdot0=0, y=2cdot0-0=0 ;Longrightarrow;(0,0)
  • Para (2,0):
x=2-2cdot0=2, y=2cdot2-0=4 ;Longrightarrow;(2,4)
  • Para (0,1):
x=0-2cdot1=-2, y=2cdot0-1=-1 ;Longrightarrow;(-2,-1)
  • Para (2,1):
x=2-2cdot1=0, y=2cdot2-1=3 ;Longrightarrow;(0,3)

Passo 4

Como a transformação é linear, retas paralelas continuam paralelas e segmentos viram segmentos. Logo, o retângulo definido pelos 4 vértices acima vira um paralelogramo no plano (x,y). Os vértices desse paralelogramo são exatamente
(0,0),;(2,4),;(-2,-1),;(0,3)

Resposta

A imagem T(S) é o paralelogramo de vértices
(0,0), (2,4), (0,3), (-2,-1)
no plano (x,y).

Exercícios relacionados