Resolva os exercícios a seguir por separação de variáveis:
d yd x=ln x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
dydx = ln x
e pede para resolver por separação de variáveis. Aqui o método consiste em isolar dy de um lado e dx do outro, para então integrar cada parte.

Passo 2

Isolamos as variáveis:
dy = ln x,dx
Agora integramos ambos os lados:
integral dy = integral ln x,dx
No lado esquerdo temos
integral dy = y + C1,
e no direito usamos integração por partes com u=ln x, dv=dx, de modo que du=1xdx e v=x. Assim
integral ln x,dx = xln x - integral xcdot1xdx = xln x - integral 1,dx = xln x - x + C2
Igualando as duas integrais e absorvendo C1 e C2 num único C, obtemos
y = xln x - x + C

Resposta

y = xln x - x + C

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