Determine a imagem das funções
f(x)=x^2-1x^2+1

Passo 1

O enunciado pede pra gente encontrar a imagem da função f(x)=x^2-1x^2+1. O conteúdo aqui é estudar a variação de uma função racional e entender como ela atinge seus valores. Vamos usar manipulação algébrica e argumentos de limite pra descobrir esse intervalo.

Passo 2

Pra facilitar, reescrevemos:
f(x)=x^2-1x^2+1=x^2+1-2x^2+1=1-2x^2+1

Passo 3

Como x é real, temos x^2>=0, então x^2+1>=1. Isso significa que o denominador x^2+1 varia no intervalo [1,+infty).

Passo 4

Com isso, o termo 2x^2+1 varia no intervalo (0,2], porque quando x=0 o valor é 2, e quando |x|to+infty ele tende a 0 sem nunca ser exatamente 0.

Passo 5

Como f(x)=1-2x^2+1, subtraindo esse intervalo de 1 a gente obtém
1-2<= f(x)<1-0
ou seja, a imagem de f é o intervalo [-1,1).

Resposta

[-1,1)

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